Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente. 

El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división. 

Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos. 

Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

a>1
0<a<1

La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R* + en R:

• La función logarítmica solo está definida sobre los números
Positivos.
• Los números negativos y el cero no tienen logaritmo
• La función logarítmica de base a es la recíproca de la Función
Exponencial de base ¨a¨.
• Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de
base e = 2’718281…

Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma:

Se hallan por medio de la fórmula:

LOGARITMOS

A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.

Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

Definición

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base  para obtener dicho número.

Que se lee : “el logaritmo en base a del número x es b” , o también :
“el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a”.

Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.

La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia a^ b   para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.

La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales :

Es la función inversa de la función exponencial.

La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1).

Propiedades

Logaritmos Decimales

Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10.  Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

Logaritmos Neperianos

Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.

Cambio de Base

Antilogaritmo

Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.

Es decir, consiste en elevar la base al número resultado:

 
Cologaritmo
 
Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.

Equivalencias útiles 

Ecuaciones Logarítmicas

Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de logaritmación.

La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de  ambas (principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones
logarítmicas, también se llama “tomar antilogaritmos”).

Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas.

Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas

 Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de  ecuaciones en los que las incógnitas está sometida a la operación logaritmo.

Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.

Características útiles

Si a > 1
Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo
Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo

Si 0 < a < 1
Los números menores que 1 tienen logaritmo positivo
Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo