Integración por descomposiciónEste método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:

ð Primera propiedad de las integrales

La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.

Esto es,

 

 

Demostración:

 

 

Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x) y F(x) - G(x) es una primitiva de

f(x) - g(x), ya que:

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x)

(F(x) - G(x))’ = F’(x) - G’(x) = f(x) - g(x)

Por tanto,

 

 

Análogamente,

 

ð Segunda propiedad de las integrales

La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.

Es decir,

 

Demostración:

 

Pero (k · F(x))’ = k · F’(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva de

k · f(x). Por tanto,

 

 

Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por descomposición

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

 

Resolución:

 

 

 

son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.

En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1.

Así,

 

 

 

Por consiguiente,
 

 

Resolución:

 

= - cos x - 3 In |cos x| + C

 

 

 Resolución:

ð Desarrollando por la fórmula del cuadrado de un binomio:

 

ð Así,

 

 

 

Resolución:

(Obsérvese que ahora la variable es t y no x. Conviene acostumbrarse al manejo de cualquier variable aunque la más utilizada sea la x.)

 

ð Aplicando la propiedad distributiva del producto:

 

ð Entonces,

 

 

 

 

Resolución:

ð Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:

 

ð Por tanto,

 

 

 
 

 

 

 

Resolución:

 

 

 

 

Integración por cambio de variable (o sustitución)

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.

Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

 

 

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x → u(x) → u(x)m , la regla de la cadena

 

Por tanto,

 

Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.

Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable

 

 

Resolución:

 

 

 

Resolución:

 

ð Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se
 

por la constante (en este caso 2) que falta.

 

 

 

 

 Resolución:

 

 

 

Resolución:

 

 

 

ð Se multiplica y se divide por 3:

 

 

 

 

 

Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de

 

 

Ejercicio: cálculo de integrales por cambio de variable

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

 

Resolución:

 

ð Se multiplica y se divide por 6:

 

 

Resolución:

 

Por tanto,

 

 

 

 

 

 

 

La derivada de ex es la propia función ex . Si en lugar de x se tuviese una función

u( x ), la derivada de eu( x ) por la regla de la cadena es eu( x ) · u’ ( x ).

Por consiguiente,