Ejercicio: cálculo de integrales mediante cambio de variable 

 

Resolución:

ð En primer lugar se saca de la integral la constante 5.

 

ð Se multiplica y se divide por 3:

 

 

 

Resolución:

 

ð Se multiplica y se divide por - 1.

 

 

Resolución:

 

ð Se multiplica y se divide por 2:

 

 

 

Haciendo un estudio análogo a los anteriores, se deduce que

 

 

La derivada de - cos x es sen x. Por la regla de la cadena, la derivada de - cos u es

u’ · sen u. Análogamente, la derivada de sen u es u’ · cos u.

Así se tienen

 

 

Ejercicio: cálculo de integrales

 

 

Resolución:

 

La primera de ellas significa sen (x · x · x), mientras que la segunda es (sen x) · (sen x) · (sen x).

 

ð Se saca el factor 5 de la integral.

ð Se multiplica y se divide por 3.

 

 

ð Como en casos anteriores es sencillo demostrar que:

 

 

Ejercicio: cálculo de integrales

 

 

Resolución:

ð Se saca de la integral la constante 13.

 

ð Se multiplica y se divide por 50:

 

 

 

Resolución:

 

ð Se multiplica y se divide por 3.

 

 

 

Resolución:

ð Se extrae la constante 3 de la integral.

 

Por la derivada de un cociente,

 

 

 

Si u es una función de x, derivando por la regla de la cadena la función sec u, se obtiene u’ · sec u · tg u. Análogamente, la derivada de la función - cosec u es u’ · cosec u · cotg u. Por tanto,

 

 

Ejercicio: cálculo de integrales

 

 

Resolución:

 

ðSe multiplica y se divide por 2:

 

 

 

Resolución:

 

ð Se multiplica y se divide por 2:

 

 

 

Resolución:

 

 

 

 

 

 

ð De los casos 14, 15 y 16 de integrales inmediatas se deducen, de forma similar a como se ha hecho en los casos anteriores, las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:

 

 

 

Ejercicio: cálculo de integrales

 

 

Resolución:

 

Así, se ve claro que el cambio que se ha de efectuar es:

 

 

 

 

Resolución:

 

ð Se multiplica y se divide por 3:

 

 

 

Resolución:

ð Esta integral, aparentemente, no pertenece a ninguno de los tres casos, aunque tiene cierto parecido a una integral del primer caso.

 

 

 

 

 

 

La técnica utilizada para resolver esta integral es de uso frecuente en el cálculo de integrales de cualquiera de estos tres modelos que se están estudiando.

 

Resolución:

ð Siguiendo los pasos del anterior ejercicio:

 

ð Esta integral pertenece al segundo de los dos casos. El cambio que se
 

 

 

 

 

 

Resolución:

 

lugar a una integral del tercer caso:

 

 

 

 

Por tanto, es necesario multiplicar y dividir por 3.

 

 

 

 

 

 

ð De los casos 17, 18, 19, y 20 de integrales inmediatas se obtienen las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable: